线性代数的一些观点
复习线性代数必须意识到的一点：线性代数的本质是线性变换。
对于
一、一些基础概念
1.1 向量
向量在数学、计算机、物理领域有着不同的含义，而在线性代数领域，我们习惯把它理解为：从原点开始，在不同的方向上做一定程度的运动。
注意从原点开始这一点。如果一个变换使一个向量的起点不是原点，我们就不能认为这个变换是线性变换。经典的案例：平移。
1.2 线性组合、空间
我们不妨换一种看法：在二维空间中举例，每个分量可以看作对该分量上的单位向量进行拉伸，之后对拉伸后的单位向量进行矢量求和。
这个改变很有意思，因为我们把一个向量，视为了一组基向量的线性组合。
所谓线性组合，实际你可以理解为：你手里有一堆向量，对这些向量你每个可以自由伸缩，然后再对他们进行矢量求和。
所谓空间，
一个例子：二维空间两个不共线的向量张成了一个平面。
1.3 基
想象一个三维空间，你现在手里有两个向量，其张成的空间是一个平面。如果再给你一个向量，这个向量在平面之内，是不是你永远也无法用这三个向量“逃离这个平面”？实际上，这就是线性相关的概念，我习惯理解为“提供了冗余的信息”。
精确点说，现在有一个向量组，如果向量组中一个向量能写作其他向量的线性组合，这一组向量就是线性相关的。反之若没有一个向量能被其他向量表示，这一组向量就是线性无关的。
说回基。向量空间的一组基就是张成该空间的一个线性无关向量集。
一个结论：
二、矩阵、线性变换
变换实际上可以理解为一种“函数”，我们输入一个向量，经过矩阵的处理，得到一个输出向量。实际上使用“变换”这个词而不用“函数”，这能够引发我们的一些思考，譬如“能不能以运动的角度去认识这个过程”？
我们现在考虑输入向量“移动”到输出向量的过程，必须构建起来这个观念：线性变换就是“向量的移动”。由于向量从原点出发，我们可以把平面上的点和向量一一对应起来，譬如点
在此，我十分推荐观看03 - 矩阵与线性变换_哔哩哔哩_bilibili
2.1 线性变换
平面上的点（与向量一一对应）可以构成一条条直线，你可以对这些直线进行挤压、拓展，这些直线在变换之后若仍然保持为直线，且原点不发生坐标的移动，则这个变换可以被视为线性变换。
形象点说，我们如果能保证原空间的网格线平行且等距分布，这个变换就是线性的
2.2 矩阵
下面的问题是我前期复习线性代数最恍然大悟的部分。我们需要思考：如何去用数值描述线性变换？我们能在一些视频里看到别人做的关于线性变换的动画，那么我们知道，你肯定要给计算机合理的计算公式，给它一套描述线性变换的规则，他才能把动画渲染出来。事实上，这就是矩阵完成的任务。
我们前面已经介绍过，譬如二维的一个向量
更形象地举个例子，我现在要做一个线性变换，是把线性空间中的向量逆时针旋转90度。显然这是一个线性变换(原点不变，任意的直线旋转之后显然还是直线)。那我们想想这个线性变换的矩阵长什么样。之前的基是
这么看是不是好理解很多！我们只需要理解：一个矩阵的列向量组就是变换后的基，变换可以看作从原基到新基的函数（运动）就可以了。理解了之后，我们可以把很多抽象对象视为基，变换也同样可以适用于这些抽象对象。
2.3 矩阵乘法+线性变换
我们对空间中的向量显然可以有多重连续的操作，上面的结论推广之后，我们就可以得到一种对矩阵乘法新的理解：
对于矩阵乘法
举个例子来说，设
三、行列式
3.1 行列式的几何含义
行列式往往是大学线性代数课最开始学习的内容，可实际上要了解它的含义，放到这里是比较合适的。事实上，行列式的几何意义就是线性变换对面积或体积的“带方向缩放倍数”
我们前面知道，原空间的网格线在线性变换之后是平行且等距分布的。所以对于空间中任意的区域来说，在经过对应的线性变换之后面积/体积的缩放比例都是相同的。
图里的所有方格缩放比例相同我们容易看出，但是为什么任意的区域缩放比例都相同？事实上，我们可以考虑近似的想法，将一个曲线围成的区域近似成方格所组成的区域，就容易理解这一点了。
这个特殊的缩放比例，就是所谓“行列式的值”。
理解了这一点，我们经常听到的“降维”等词语就很好理解了。如果行列式等于0，就说明这个矩阵代表的变换将空间压缩到了更小的维度上。所以我们很容易能把几个概念看作等同：秩小于n，行列式等于0，列向量组线性相关……他们都在某种程度上说明了这个线性变换丢失了信息这一点。
在这里补充一点说明，为什么行列式允许为负数？
假设在二维空间，y轴上的单位向量是在x轴上的单位向量左侧（逆时针方向）的，如果有一个变换使得y轴上的单位向量再x轴上的单位向量的顺时针方向，那么行列式就是负的啦。这种时候我们可以描述他为“空间定向改变”，想象一张纸翻了一个面，就是这个效果。
3.2 行列式的计算
在这里我们不多做探讨行列式的计算，网上有很多相关教程。下面这张图很好的说明了二阶行列式
有了上面的概念之后，
四、逆矩阵、列空间、零空间
我们知道，线性代数在帮助我们求解线性方程组这一点是很有帮助的，具体我们可以参考P3389 【模板】高斯消元法 - 洛谷，高斯消元法。
不过我们尽量不去涉及计算，看看能否理解线性代数求解线性方程组的过程。注意，我们只涉及线性方程组，也就是所有的未知量只有常系数，没有幂次等等奇怪的东西的方程组。
事实上，这样的方程我们可以把它看成一个向量方程，并写成矩阵乘法的形式。
上面的方程我们记作
这样子的书写方法不仅仅是为了方便，这引导我们从前面的积累去进行思考：矩阵A代表一种线性变换，求解这个方程代表我们去寻找一个向量x，使它在这个变换之后与向量v重合。
为了方便思考，我们先从二维的角度去思考。我们针对矩阵A进行分类讨论。首先如果其行列式不等于0，在这种情况下，有且仅有一个向量在变换之后与v重合。
4.1 逆矩阵
接着上面的说，在此我们引入逆矩阵的概念。我们要求出向量x，是不是可以思考这个线性变换的“逆过程”。也就是说：x经过一个线性变换到v，对v做这个变换的逆向操作是不是就可以到我们求解的x？我们就再次假设这个“逆过程”的线性变换对应的矩阵为
一个简单的例子，假设A是逆时针旋转90度的矩阵，相信大家很快就能写出来：
这样子去理解线性方程的求解是不是更加容易一点呢？总的来说，
接着之前的分析。 如果矩阵的行列式为0——也就是空间被压缩降维了，我们之前做的这些还成立吗？从几何的角度来说显然是不可以的，你肯定无法做到把一条线“解压缩”为一个平面——这要求把一个单独的向量变为一整条线的向量，但是变换实际上是一种函数，你总不能一个输入对应多个输出吧。
所以这解释了，如果矩阵的行列式为0，这个矩阵是不存在逆矩阵的。
但是，不存在逆矩阵不代表
4.2 秩
接着我们引入秩。我们注意到，“降维压缩”也是有区别的。譬如一个三维空间，有可能被线性变换压缩成一个平面（一个基向量与另外两个基向量组成的平面共面），有可能被压缩成一条直线（三个基向量共线）。我们怎么描述这个区别呢？答案就是秩（rank）。
如果线性变换把原空间压缩成一维的，那么秩就是1。如果是二维的，那么秩就是2……以此类推。
我们来分析分析秩的性质。比如对于2*2的矩阵，秩最大显然为2，此时两个基向量张成了整个二维空间。如果是三维的矩阵，秩为2就说明空间被压缩了——此时行列式自然为0。
4.3 列空间
我们把线性变换所有可能的输出向量称作列空间。
这个其实很好理解。我们知道矩阵的列向量就是线性变换后的基向量，这些基向量张成的空间实际上就是我们所说的“列空间”。这么看来，就有秩=列空间的维数。
4.4 零空间
首先，零向量一定会被包含在列空间之中，因为我们知道线性变换后原点位置不变。对于一个满秩的线性变换，只有零向量自身还落在原点。
如果不是一个满秩的线性变换，那么肯定会有“被压缩到零向量”的维度。比如说一个三维变换将空间压缩到一个平面上，会有一条线的向量落到原点。
如果这个变换是将空间压缩到直线的话，就会有一个平面的向量落到原点。
这个“变换后落到原点”的向量的集合，也就是
接下来我们就有所谓的秩-零度定理啦！一个线性变换，把
事实上，我们分析到这里，行列式不等于0的说法可以被我们推广掉，换成列向量组线性无关了（只有方阵才有行列式）。
五、点积
3b1b的介绍课程里谈到了点积，得到了一个优美的对点积的看法。我也在这里记录一下。
我们都知道，点积的公式如下：
我们要把表示“向量b到向量a的投影”，能不能从一个奇异的方向入手：构造一个向量b到向量a所在直线的一个线性变换？既然要构造这样的线性变换，那我们自然要求出变换后的两个基的位置。
如上图所示。假设u是a所在向量方向的单位向量，构造“投影到这个直线”的线性变换，矩阵的两个基向量自然就是图上的两个投影后的基。现在有意思的地方来了，这两个基的值是多少呢？
神奇的结果出现了！对于基向量i，它的基向量的投影的值就是
进一步加以分析，把这个结果拉长
六、矩阵相似、对称、正定、合同
6.1 矩阵相似
对于同阶方阵
就称
相似的几何意义是同一个线性变换在不同基下的矩阵。所以其保持着相同的特征值,行列式,秩,迹等特征,但是其不保证矩阵的对称,正定等性质。
6.2 矩阵对称
实矩阵
任意实对称矩阵都可以被正交对角化。所以其所有特征值都是实数，不同特征值对应的特征向量相互正交。所以其存在一组标准正交特征向量构成空间的一组基。
6.3 矩阵正定
通常讨论实对称矩阵
判断正定矩阵，以下条件等价：所有特征值大于0，所有顺序主子式大于0。
6.4 矩阵合同
对于同阶矩阵
一个矩阵的合同变换，保持其对称性，秩，惯性指数。不保持特征值，迹，行列式。